18．公理。运动的普遍和谐比例必定是由六种运动的相互调节，特别是通过极运动来确立的。
由公理1可以证明。
19．公理。在运动的一定范围内，普遍和谐比例必须是一样的，以使它们能够出现得更加频繁。
如果它们被局限于运动的个别的点，那么它们就有可能永远也不出现，或者出现得非常少。
20．公理。正如第三卷已经证明的，由于对和谐比例种类（generum）的最自然的区分是大调和小调，所以两种普遍和谐比例必须在行星的极运动之间获得。
21．公理。两种和谐比例的不同种类必须被确立，以使世界的美可以通过所有可能的变化形式来展现；这只能通过极运动，或至少是通过某些极运动来实现。
由公理1可得。
22．命题。行星的极运动必已指定了八度系统的音高或音符，或者音阶中的音符。
正如第三卷已经证明的，基于一个共有音符的和谐比例的起源和比较产生了音阶，或者说把八度分成了它的音高或音符。因此，由于根据公理1、20和21，极运动之间需要有不同的和谐比例，所以某个天的系统或和谐音阶需要通过极运动来做出真正的划分。
23．命题。必定有这样一对行星，其运动之间的和谐比例只存在大六度3 : 5和小六度5 : 8。
根据公理20，和谐比例的种类之间存在着必然的区分。根据命题22，这种区分是通过拱点处的极运动来实现的，因为要想排列和整理它们，只有极运动——最快的和最慢的运动——才需要被确定，各种居间的调子都是当行星从最慢运动到最快的过程中自行产生的，它们不需要任何特别的关照。因此，只有当两颗行星的极运动之间形成了一个第西斯或24 : 25时，这种排列才可能发生，因为如第三卷中所解释的，和谐比例的不同种类之间相差一个第西斯。
然而，第西斯或者是4 : 5和5 : 6这两个三度之间的差距，或者是3 : 5或5 : 8这两个六度之间的差距，或者是再升高一个或几个八度之后的这些比例之间的差距。但是根据命题6，4 : 5和5 : 6这两个三度在行星对之间并不出现；而且除了火星和地球这对行星的5 : 12（与之相关的只有2 : 3） ，[6]增加一个八度的三度或六度也没有出现。所以居间的比例5 : 8、3 : 5和1 : 2都同样是容许的。因此，余下的两个六度3 : 5和5 : 8要被给予一对行星。而且它们运动的变化只能是六度，以至于它们既不会扩张到下一个较大的音程2 : 1，即一个八度，也不会缩小为下一个较小的音程2 : 3，即一个五度。这是因为，尽管如果两颗行星的收敛极运动之间构成一个纯五度，发散运动之间构成一个八度，那么同样的两颗行星也的确可以构成六度，从而跨过一个第西斯，但这却不能体现运动的规定者的天道。因为那样一来，最小的音程第西斯——它潜藏于极运动之间所包含的所有大音程之中——就会被随着调子连续变化的居间运动所超越，但它不是由它们的极运动决定的，因为部分总是小于整体的，即第西斯总要小于介于2 : 3和1 : 2之间的较大音程3 : 4，这里，后者将被认为是由极运动所确定的。
24．命题。改变了和谐比例种类的两颗行星应当在它们极运动的固有比例之间形成一个第西斯，其中一个的固有比例将大于一个第西斯；它们的远日运动之间应当形成一个六度，近日运动之间应当形成另一个六度。
由于极运动之间构成了两个相距为一个第西斯的和谐比例，这可以以三种方式来产生：或者一颗行星的运动保持不变，另一颗的运动变化一个第西斯；或者当上行星在远日点，下行星在近日点时，两者都变化半个第西斯，构成一个大六度3 : 5，并且当它们移出那些音程彼此相互靠近，上行星运动到近日点，下行星运动到远日点时，它们构成一个小六度5 : 8；或者最后一种可能，在从远日点向近日点运动的过程中，一颗行星比另一颗行星的变化更大，从而超过一个第西斯，于是这两颗行星在远日点的运动之间就形成了一个大六度，在近日点的运动之间就形成了一个小六度。但第一种方式是不合法的，因为那样一来，这些行星中的某一颗将没有偏心率，从而与公理4相违背。第二种方式不那么美，也不那么适宜：之所以不美，是因为不够和谐，两颗行星的运动的固有比例将不是悦耳的，因为任何一个小于第西斯的音程都是不协和的。然而，让某一颗行星受到这个不协和的小音程的影响会好一些。事实上，它是不可能发生的，因为如果是这种方式，那么极运动就会偏离系统的音高或音阶的音符，从而与命题22相违背；它之所以是不适宜的，是因为六度只在行星分别位于相反的拱点时的那些运动中出现。如果是这样，那么这些六度以及从它们当中导出的普遍和谐比例就不可能有地方产生。因此，当行星的所有和谐位置都被局限在它们轨道上的几个有限的个别的点时，普遍和谐比例将会极为稀少，从而与公理19相违背。因此，还剩下第三种方式，即每一颗行星都变化自己的运动，但其中一颗要比另一颗变化大，而且至少要相差一个完整的第西斯。
