1．公理。下面这种说法是合理的：无论在什么地方，只要有可能，单颗或两颗行星的极运动之间必定已经建立起了一切种类的和谐，以使那种变化可以为世界增辉。
2．公理。六个球之间的五个间距必定在一定程度上对应着五种正立体的内切球和外接球之比，顺序与立体形本身的自然次序相同。
关于这一点，参见第一章、《宇宙的奥秘》和《哥白尼天文学概要》第四卷。
3．命题。地球与火星之间的距离，以及地球与金星之间的距离同它们的球相比必定是最小的，并且大致是相等的；土星和木星之间的距离，以及金星与水星之间的距离居中，并且同样大致相等；而木星与火星之间的距离则是最大的。
由公理2，在位置上对应于几何球体比例最小的立体形的行星得出的比例也应该最小；对应于居间比例的立体形的行星得出的比例也应该居间；而对应于最大比例的立体形的行星得出的比例也应该最大。十二面体和二十面体之间的次序与火星与地球、地球与金星之间的次序是相同的；立方体和八面体之间的次序与土星和木星、金星和水星之间的次序是相同的；最后，四面体的次序与木星和火星之间的次序是相同的（参见第三章）。因此，最小的比例将会在地球与火星、地球与金星之间存在，而土星和木星之间的比例大致等于金星和水星之间的比例；最后，木星和火星之间的比例是最大的。
4．公理。所有行星都应当有不同的偏心率和不同的黄纬运动，它们与太阳这个运动之源的距离也和偏心率一样各有不同。
由于运动的本质不在于存在而在于生成，所以某一颗行星在运行过程中所穿过的区域的样子或形状并非从一开始就成为立体的，而是随着时间的推移，最后不仅要求长度，而且也要求宽度和深度，形成完整的三维；渐渐地，通过很多圈的交织和积聚，一种凹陷的球形就显现了出来——就像蚕丝在交织和缠绕很多圈后结成蚕茧一样。
5．命题。每一对相邻行星必定被指定了两种不同的和谐比例。
因为根据公理4，每颗行星与太阳之间都有一个最大距离和一个最小距离，所以根据第三章，每颗行星都有最慢的运动和最快的运动。因此，存在着两种极运动之间的主要比较，一种是两颗行星的发散运动，另一种是它们的收敛运动。它们必定彼此不同，因为发散运动的比例会大一些，收敛运动的比例会小一些。但不同的行星对之间必定存在着不同的和谐比例，以使这种多样能够为世界增辉（根据公理1）；还因为根据命题3，两颗行星之间的距离的比例是不同的。但球与球之间的每一个确定的比例都因其量的关系而对应着和谐比例，一如本卷第五章中所证明的那样。
6．命题。两个最小的和谐比例4 : 5和5 : 6在行星对之间不会出现。
因为5 : 4 = 1000 : 800，6 : 5 = 1000 : 833，但十二面体与二十面体的外接球与内切球之比都是1000 : 795，这两个比例标明了彼此距离最近的行星球之间的距离，或者说最小间距。因为对其他立体形来说，外接球与内切球之间的距离要更大。然而，根据第三章第十三条，如果偏心率与球之间的比例不是太大的话，那么这里运动之比仍然要大于距离之比。[1]因此，运动之间的最小比例大于4 : 5和5 : 6。因此，这些和谐比例事实上已为正立体形所排除，从而不会在行星间出现。
7．命题。除非行星极运动之间的固有比例复合起来之后大于一个纯五度，否则两颗行星的收敛运动之间不会出现纯四度的协和音程。
