25．命题。对于改变和谐种类的两颗行星来说，上行星的固有运动的比例应当小于一个小全音9 : 10；而下行星的固有比例则应小于一个半音15 : 16。
根据前一命题，它们或是通过远日运动，或是通过近日运动来构成3 : 5的比例。但通过近日运动是不可能的，因为那样一来，它们的远日运动之比就将是5 : 8。因此，根据同一命题，下行星的固有比例将比上行星高出一个第西斯，但这是与公理10相违背的。因此，它们只能通过远日运动构成3 : 5的比例，近日运动构成的是5 : 8的比例，后者比前者小了24 : 25。然而，如果远日运动构成了一个大六度3 : 5，那么上行星的远日运动与下行星的近日运动之间将构成一个超过大六度的音程，这是因为下行星将复合其整个固有比例。
同样地，如果近日运动构成一个小六度5 : 8，那么上行星的近日运动和下行星的远日运动将构成一个小于小六度的音程，因为下行星将复合其整个固有比例的倒数。然而，如果下行星的固有比例等于一个半音15 : 16，那么除了六度以外，纯五度也可以出现，因为一个小六度减去一个半音就成了一个纯五度，但这是与命题23相违背的。因此，下行星的固有音程将小于一个半音。由于上行星的固有比例要比下行星的固有比例大一个第西斯，而一个第西斯加上一个半音就成了一个小全音9 : 10，因此，上行星的固有比例小于一个小全音9 : 10。
26．命题。对改变和谐种类的两颗行星来说，上行星的极运动之间所构成的音程应当或者是一个第西斯的平方576 : 625，即大约12 : 13，或者是半音15 : 16，或者是与前者或后者相差音差80 : 81的某个居间的音程；而下行星应当或者是一个纯粹的第西斯24 : 25，或者是一个半音与一个第西斯之差125 : 128，即大约42 : 43，或者最后，是与前者或后者相差音差80 : 81的某个居间的音程，也就是说，上行星应当构成第西斯的平方减去一个音差，下行星构成一个纯粹的第西斯减去一个音差。
根据命题25，上行星的固有比例应当大于一个第西斯，根据前一命题，它应当小于一个小全音9 : 10。但事实上，根据命题24，上行星应当超过下行星一个第西斯。和谐之美告诉我们，即使这些行星的固有比例由于过小而不可能是和谐的，根据公理1，如果可能，它们至少也应当是协和的。但是，小于小全音9 : 10的协和音程只有两种，即半音和第西斯，但它们彼此之间相差不是一个第西斯，而是一个更小的音程125 : 128。因此，上行星不可能具有一个半音，下行星也不可能具有一个第西斯；或者上行星具有一个半音15 : 16，下行星具有125 : 128，即42 : 43，或者下行星具有一个第西斯24 : 25，上行星具有第西斯的平方，即约为12 : 13。但由于两颗行星是平权的，所以即使协和的性质不得不在它们的固有比例中被打破，它也必须在两者中被均等地打破，从而使它们的固有音程之差仍将是一个精确的第西斯，根据命题24，这对于区分和谐比例的种类是必要的。如果上行星的固有比例小于第西斯的平方的量或者超过一个半音的量，等于下行星的固有比例小于一个纯粹的第西斯的量或者超过125 : 128这个音程的量，那么协和的性质就会在两者中被均等地打破。
不仅如此，这种盈余或亏缺必定是一个音差，即80 : 81，因为为了使音差在天体运动中被表达的方式能够像在和谐比例中一样，即通过彼此之间的音程的盈余或亏缺来表达，和谐比例不能指定任何其他音程。因为在协和音程中，音差是大小全音之差，它不以任何其他方式出现。
