掷一枚普通的硬币，你会预期猜对正面或者反面的次数是总次数的一半。洗牌之后预测牌堆顶的牌是红色或者黑色，你也会估计猜对的次数是总次数的一半。当你同时猜测掷硬币的结果和牌堆顶牌的颜色，有多大可能两个都正确？

假设做这种双重试验100次。预期你大约50次猜对掷硬币的结果，当你猜对之后，预期你继续在一半的次数中猜对牌的颜色。这意味着你大约有25次两个都猜对，看起来得到了25%或者1/4作为两个都猜对的概率。对这样的试验来说，两个都正确的概率就是将两个事件单独成立的概率相乘。

10个大小和材质均相同的球被标有数字0到9，它们中的任何一个被抽中都是完全随机的。所以球上写着较小数字(0~4)或者较大数字(5~9)是等可能的。其中5个数字用绿色写成，另外5个用蓝色写成，所以绿色和蓝色也是等可能的。我们猜颜色或猜数字较小还是较大都分别有50%的概率。那么球上既标有较小数字又是绿色数字的概率是多少？

前文关于硬币和扑克牌的论断意味着答案是1/4，但是想一会儿你就能发现这不对。在有10个球的情况下，不可能其中的1/4(2.5个)是较小的绿色数字!正确的答案取决于哪一些数字是绿色的，哪一些数字是蓝色的。不妨假设1至5是绿色，其余是蓝色。

这种情况下，10个数字里面有4个(1、2、3和4)是较小的绿色数字，所以前述事件的概率是0.4。但就像我们处理第一个问题时一样，我们也可以使用两步走的过程：100次重复试验中，我们预期得到较小数字50次。5个里面有4个较小数字是绿色的，所以在我们得到较小数字的情况下，我们预测绿色次数占4/5。总体上讲，我们预期得到较小的绿色数字40次，再次指向了0.4这一答案。

在硬币和扑克牌的问题中，掷硬币的结果对扑克牌的结果没有影响。我们不会因为得知了硬币掷出正面就改变头脑中抽到红色牌的概率——在给定第一个事件发生的条件下，另一个事件的条件概率(conditionalprobability)就是它的正常的概率。如果这成立，这两个事件被称为是独立的(independent)，两个事件同时发生的概率就是两个事件单独发生的概率的乘积。

对于10个球的问题，两个事件同时发生的概率也作为乘积出现，其中第一个乘数是一个事件(较小数字)的概率，而第二个乘数是得到较小数字时得到绿色数字的条件概率。所以两个计算在形式上是相同的，唯一的不同就是第一个事件的结果会否影响第二个事件。这两个计算中，我们都用到了概率的乘法定理(theMultiplicationLaw)：

两个事件同时发生的概率就是第一个事件发生的概率与第一个事件发生时第二个事件发生的概率的乘积。

独立性

我们用“独立的”这个术语来描述一种情况：第一个事件的发生并不影响我们对第二个事件概率的评估。假设这是成立的。但假如我们知道了第二个事件已经发生，这可能影响我们对第一个事件概率的评估吗？

不会。一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，第二个事件是否发生也并不会影响第一个事件的概率。当两个事件中任何一个发生与否均不会对另一个事件的概率产生影响时，这两个事件是独立的。要计算两个事件同时发生的概率，就将它们各自的概率相乘。

彼此不相互影响的事无疑是独立事件，例如突尼斯今天下雨和巴黎新生儿的性别。但有时独立性并不明显。使用一个公正的普通色子，考虑事件“得到偶数”和“得到3的倍数”，它们的概率分别是1/2和1/3。只有得到6的时候两个事件同时发生，概率是1/6。因为1/2和1/3相乘等于1/6，这两个事件是独立的。得到偶数的概率并不会在我们得知是否得到3的倍数之后改变(反之亦然)。