现在，当你有一个8面色子或者10面色子的时候，考虑相同的问题，色子的每个面都分别被标记了1~8或者1~10。再进行相应的算术过程：你会发现在其中一种情况下两个事件是独立的，但是在另一种情况下不是。判断独立性时，直觉是有用的，但是并不总是足够的。

在两个因素并不独立的时候假设它们是独立的，是评估概率过程中最常犯的错误。假设在一所大学的研究生院中一半的学生是女生，并且1/5的学生学习工程学科。随机选择一个学生：这个学生是女生的概率会被认为是1/2，这个学生学习工程的概率会被认为是1/5。然而你会发现这个学生是个女工程师的概率远远小于这两个值的乘积——1/10。

具有重叠的事件

加法定理说明了如何计算两个事件中至少一个发生的概率，只要这些事件是互斥的。如果二者不互斥会怎么样？例如，随机抽取一张卡片，是黑桃或者A的概率是多少？黑桃A同时属于这两个分类，所以如果我们只是将各自的概率相加，我们就会将黑桃A计算两次。为了计算两个事件中至少一个发生的概率，并纠正可能会被重复计算的结果，就将各自的概率相加，然后减去两个同时发生的概率。

如果两个事件是互斥的，就不可能同时发生，所以这个额外项的值为0，我们就回到了原先的加法定理。

让我们来看看在先前两个例子中这种观点的实际应用。在猜硬币和红牌黑牌的问题中，我们至少猜对一个的概率来自计算过程1/2 + 1/2 - 1/4，等于3/4。在另一个例子中，随机地抽取有标号的球，是较小数字或者绿色的概率是1/2 + 1/2 - 0.4 = 0.6。

抽到黑桃或者A的概率就是13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52，这可以被证明，因为52张牌中刚好有16张满足条件。

最后一个计算过程会警示你不要提前进行算术简化。的确13/52与1/4相等，4/52与1/13相等，但是要将1/4和1/13相加，你最好用原始的分数。将一个像5/13这样的美观的分数写成它的丑陋的近似小数(0.38461538……)几乎没有好处。

两个以上的事件

由许多事件组成的集合中的一些事件发生与否，并不影响任何其他事件的概率时，这些事件就被描述为独立的。在这种情况下，乘法定理意味着，以任何方式从这个集合中选取事件，它们均发生的概率仅仅是它们各自的概率的乘积。

但是在3个或者更多的事件不是独立的时候，我们如何得到它们均发生的概率呢？例如惠斯特纸牌和桥牌[1]游戏中，纸牌都被随机洗好然后等量地分给四个玩家。他们全都恰好抽到一张A的可能性有多大？

考虑4个单独的事件：甲恰好抽到一张A，乙恰好抽到一张A，丙恰好抽到一张A，丁恰好抽到一张A[2]。显而易见，这4个事件并不是独立的，因为如果任意3个均发生的时候，最后一个就一定发生了。我们会通过一个三段式过程来得到它们均发生的概率。

首先，我们计算甲恰好抽到一张A的概率。假设所有可能的分牌方式都是等可能的，我们有了一个计算练习：计算可能的分牌方式的总数，然后计算甲恰好抽到一张A的方式有多少种。相信我，这个概率算下来略低于44%。

假设甲只有一张A(因此有12张非A)。这就给其他的玩家留下了3张A和36张非A，同时乙随机地抽取了其中的13张。对这个较小的牌堆，相似的计数过程指出乙恰好抽到一张A的概率略低于46%。乘法定理告诉我们，两个事件，即甲和乙均恰好抽到一张A发生的概率是这两个值的乘积，略高于20%。

现在我们假设甲和乙每个人都恰好有一张A。然后丙从剩下的两张A和24张非A中随机地取13张牌：他恰好得到一张A的概率是52%。